義務教育を含めて、20年近く『数学（算数）』を学んだものとして、例えば、“マイナス×マイナスは何故プラスなの？（←分配法則を認めた結果）”や、“ゼロのゼロ乗は何故１なの？（←そう定義すれば矛盾が起きない）”といった、“こども”の素朴な疑問について、“大人”の厳密な答えを準備することはそれほど困難ではありません。

もっとも、大人の“厳密な”答えを、こどもの素朴な“こころ”が素直に受け入れる保証はどこにもありませんが。。。

一方、大人の特殊な“問いかけ”が、専門家を含む大人の“感覚”を揺さぶることも、数学の味わい深い側面といえそうです。

そこで、今回のコラムでは、一部の読者たちを混乱に落とし込んだ（笑）、とある大学教授からの挑戦状（？）について、四則演算に関する話題も含めて思うところを述べてみましょう。

１．大学教授からの挑戦状

平日の昼休みに、Yahoo!ニュースを見ながら自席で過ごすことが多いのですが、先日見たニュースで表題の記事を拝見しました。
https://news.yahoo.co.jp/articles/c4b37b584c918e54f924dca1f55705749b189679

出典は、「幻冬舎ゴールドライフオンライン人気記事」のようですが、記事の「タイトル」が斬新すぎて、サンドイッチを食べる手が思わず止まってしまいました。
https://gentosha-go.com/articles/-/33394

アクチュアリーの方々は、数学科ご出身の方々が多いとは思いますが、“足し算を掛け算で表す”ことは出来ても、少なくとも学校の授業で、“割り算を引き算で表す”ことを学んだ記憶はないように思えます。ひょっとすると、私自身が学んだ『数学（算数）』の教わり方が間違っていたのかと、かなり不安になってしまいましたが。。。

記事の中で紹介されているとおり、“6の中から2を何回“引き算”すればいいのか、その「回数」を求めるという問題”ということを著者は主張したかったようです。つまり、

６－２－２－２＝０

という数式を念頭に置いて、「6÷2を引き算で表してください」と表現されたようです。
　　
２．商を表す記号はあるのか

割り算を行う場合、商と余りを求めることになりますが、このうち、整数同士の割り算における余りについては、Excelのmod関数で簡単に計算できます。

実際、例えば、Excelで“=MOD(100,7)”と入力して、Enterキーを押下すれば、２が表示されます。これは、100＝7×14＋2という関係式で右辺の余り「２」が表示されています。

同様に、割り算における商についても、Excelの int関数で簡単に計算できます。

実際、例えば、Excelで“=INT(100/7)”と入力して、Enterキーを押下すれば、14が表示されます。これは、100＝7×14＋2という関係式で右辺の商「14」が表示されています。

しかし、何回“引き算”すればいいのかという、その“回数”を引き算で表すことは、やはり難しそうです。なお、“ガウス記号［ ］”をご存じの方であれば、［100/7］=14という式が成り立つことをイメージされるかもしれませんね。

いずれにせよ、著者の主張する“読み聞かせ”で、「ガウス記号」まで習得させることは、相当困難であると言わざるを得ません。

３．掛け算は足し算の延長なのか

２＋２＋２＝２×３という数式を眺めていると、掛け算は足し算の延長かなと思ってしまうかもしれませんが、数学の世界では、掛け算と足し算は全くの別物といってもいいくらいです。

専門的になり恐縮ですが、数学における集合で、掛け算は足し算が定義され、かつ、それらに関して“閉じた”集合を「環」と呼びます。例えば、（有理）整数の集合や行列の集合、多項式の集合などが「環」になります。

しかし、２＋２＝２×２を、多項式の集合で考えると、例えば、変数Xについて、X＋X＝X×Xとはならず、（ベクトル空間としての）スカラー積を導入することで、X＋X＝X×２となり、整数の議論を多項式に持ち込むことができるわけです。

つまり、掛け算は足し算の延長とは、言い切れないのです。

４．足し算を掛け算で表せるか

ところで、一般的な「数」a, bについて、a＋bを掛け算で表せるでしょうか？上記の例では、aとbが等しい場合には、a＋a＝２×aという風に表せるのですが、aとbが異なる場合には、掛け算で表せるのが難しいようにも見えます。

しかし、複素数の概念を導入すれば、この問題は解決します。

つまり、任意の数a, bについて、
a＋b＝(√a＋i√b) (√a－i√b), iは虚数単位
という具合です。

なお、２＝１＋１＝(1＋i) (1－i)となりますので、整数論で有名な「ゴールドバッハの予想（＝すべての偶数は２つの素数の和で表せる）」の解決の糸口になるかもしれません。興味のある人は是非、チャレンジしてみてください。
　　
５．割り算とは分配

共済事業では、契約者配当を「割り戻し金」と呼称するようです。まさに、事業成果で得られた剰余を契約者全体で平等に分配するイメージですね。

一方、保険事業の契約者配当は英語でdividendと表させるようですが、割り算を意味するdivideと同じ語源を持つ英単語かもしれません。
結局、割り算とは分配であり、その分配を計算するために、引き算の概念を用いると説明しやすいという意味を込めて、著者は表題を付したのかもしれません。

いかがでしたか。上記ホームページによれば、今回ご登場いただいた大学教授は、なんと入試広報部入試部長も務められているそうです。是非、お勤め先の大学入試問題に、今回の“挑戦状”を出題して欲しいと思います。

（ペンネーム：活用算方）