今月のコラムでご紹介いたしました生保数理の解答速報のうち、後半の部分を以下の記しておきます。受験生の一助となれば幸いです。

問題２（３）
教科書（上巻）190ページ（5.4.13）より、\({{_t}V}_{x\ :\ \overline{n\ |}\ }^{\left(\infty\right)}=1-\frac{{\overline{a}}_{x+t\ :\ \overline{n-t\ |}}}{{\overline{a}}_{x\ :\ \overline{n\ |}}}\)　・・・　①
①で、\(n\rightarrow\infty\)とすれば、\({{_t}V}_x^{\left(\infty\right)}=1-\frac{{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}\)　・・・　②
教科書（上巻）133ページ問題（7）（b）より、\(\frac{d{\overline{a}}_x}{dx}={\overline{a}}_x\left(\mu_x+\delta\right)-1\)　・・・　③
②③より、
\(\frac{d}{dx}{{_t}V}_x^{\left(\infty\right)}=\frac{d}{dx}\left(1-\frac{{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}\right)=-\frac{d}{dx}\frac{{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}=-\frac{\left(\frac{d}{dx}{\overline{a}}_{x+t}\right)\times{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_{x+t}\times\left(\frac{d}{dx}{\overline{a}}_x\right)}{\left({\overline{a}}_x\right)^2}\)
\(=-\frac{\left\{{\overline{a}}_{x+t}\left(\mu_{x+t}+\delta\right)-1\right\}\times{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_{x+t}\times\left\{{\overline{a}}_x\left(\mu_x+\delta\right)-1\right\}}{\left({\overline{a}}_x\right)^2}\)
\(=-\frac{{\overline{a}}_{x+t}\times\mu_{x+t}\times{\overline{a}}_x+{\overline{a}}_{x+t}\times\delta\times{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_{x+t}\times{\overline{a}}_x\times\mu_x-{\overline{a}}_{x+t}\times{\overline{a}}_x\times\delta+{\overline{a}}_{x+t}}{\left({\overline{a}}_x\right)^2}\)
\(=-\frac{{\overline{a}}_{x+t}\times\mu_{x+t}\times{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_{x+t}\times{\overline{a}}_x\times\mu_x+{\overline{a}}_{x+t}}{\left({\overline{a}}_x\right)^2}=-\frac{\left(\mu_{x+t}-\mu_x\right)\times{\overline{a}}_{x+t}\times{\overline{a}}_x-\left({\overline{a}}_x-{\overline{a}}_{x+t}\right)}{\left({\overline{a}}_x\right)^2}\)
\(=-\frac{\left(\mu_{x+t}-\mu_x\right)\times{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}+\frac{{\overline{a}}_x-{\overline{a}}_{x+t}}{\left({\overline{a}}_x\right)^2}=-\frac{{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}\left(\mu_{x+t}-\mu_x\right)+\frac{1}{{\overline{a}}_x}\left(1-\frac{{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}\right)　=\frac{{\overline{a}}_{x+t}}{{\overline{a}}_x}\left(\mu_x-\mu_{x+t}\right)+\frac{{{_t}V}_x^{\left(\infty\right)}}{{\overline{a}}_x}\)

（答）（G）

問題２（４）
n=1のとき、保険期間1年の養老保険で保険金年度末支払であるため、
\(A_{x\ :\ \overline{1\ |}}\ =vq_x+vp_x=v\times\left(q_x+p_x\right)=v\times1=v\)　・・・　①
①より、n=1のとき、一時払純保険料の値は、予定死亡率に依らないため、死力の値にも依らないので、\(f\left(c\right)=v\)（cからみて定数）となる。
よって、\(f^\prime\left(0\right)=\left.\ \frac{d}{dc}f\left(c\right)\right|_{c=0}=\left.\ \frac{d}{dc}v\right|_{c=0}=\left.\ 0\right|_{c=0}=0\)　・・・　②
②より、n=1のとき、０となる選択肢が正解候補となる。
よって、正解候補は、（B）（D）（F）（H）に限定される。（←\(\left(I\ddot{a}\right)_{x\ :\overline{\ 0\ |}}=\left(Ia\right)_{x\ :\overline{\ 0\ |}}=0\)）

一方、n=2のとき、選択肢（D）（F）を変形すると、
選択肢（D）＝\(d\left(I\ddot{a}\right)_{x\ :\overline{\ n-1\ |}}=d\left(I\ddot{a}\right)_{x\ :\overline{\ 1\ |}}=d\times1=d\)
選択肢（F）＝\(i\left(Ia\right)_{x\ :\overline{\ n\ |}}=i\left(Ia\right)_{x\ :\overline{\ 1\ |}}=i\times\ v=d\)
となるので、同じ値となる。しかし、正解は１つであるため、選択肢（D）および（F）は正解にならない。よって、正解候補は、（B）（H）に限定される。

また、n=2のとき、一時払純保険料の値は、
\(A_{x\ :\ \overline{2\ |}}\ =vq_x+vp_x\times\ v\left(q_{x+1}+p_{x+1}\right)=v\left(1-p_x\right)+v^2p_x=v-vp_x+v^2p_x=v+\left(v^2-v\right)p_x\)･･･ ③
教科書（上巻）57ページ（2.4.12）より、\({{_n}p}_x=e^{-\int_{\ 0}^{\ n}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t}\)　・・・　④
③④より、\(f\left(c\right)=v+\left(v^2-v\right)p_x=v+\left(v^2-v\right)\times\ e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}+c}\ d\ t}=v+\left(v^2-v\right)\times\ e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ c}\ d\ t}\)
\(=v+\left(v^2-v\right)\times\ e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t}e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ c}\ d\ t}=v+\left(v^2-v\right)\times\ e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t}e^{-c}\)　・・・　⑤
⑤より、
\(f^\prime\left(0\right)=\left.\ \frac{d}{dc}f\left(c\right)\right|_{c=0}=\left.\ \frac{d}{dc}\left\{v+\left(v^2-v\right)\times e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t}e^{-c}\right\}\right|_{c=0}=\left.\ \left(v^2-v\right)\times e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t}\times\left(-e^{-c}\right)\right|_{c=0}\)
\(=\left(v^2-v\right)\times\ e^{-\int_{\ 0}^{\ 1}{\ \mu_{x+t}}\ d\ t}\times\left(-1\right)=\left(v-v^2\right)\times\ p_x=v\times\left(1-v\right)\times\ p_x=v\times\ d\times\ p_x\)　・・・　⑥
n=2のとき、
選択肢（B）＝\(i\left(I\ddot{a}\right)_{x\ :\overline{\ n-1\ |}}=i\left(I\ddot{a}\right)_{x\ :\overline{\ 1\ |}}=i\times1=i\)
選択肢（H）＝\(d\left(Ia\right)_{x\ :\overline{\ n-1\ |}}=d\left(Ia\right)_{x\ :\overline{\ 1\ |}}=d\times\ v\times\ p_x\)
となるので、⑥より、選択肢（H）が正解となる。

（答）（H）

問題２（５）
まず、保険種類１を考える。
与えられた条件から、付加保険料が営業保険料の4%であるので、収支相等の原則から、
\(P_1=P_1\times\ A_{40\ \ :\ \overline{\ 5\ |}}^1+{{_{\ 5\ |}}A}_{40}+\ 0.04\times\ P_1\)　・・・　①
教科書（上巻）120ページ（4.6.6）より、\(A_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1=\frac{M_x-M_{x+n}}{D_x}\)　・・・　②
教科書（上巻）121ページ（4.6.9）より、\({{_{\ \ f\ |}}A}_x=\frac{M_{x+f}}{D_x}\)　・・・　③
①②③より、\(P_1=\frac{{{_{\ 5\ |}}A}_{40}}{1-A_{40\ \ :\ \overline{\ 5\ |}}^1-\ 0.04}=\frac{\frac{M_{45}}{D_{40}}}{1-\frac{M_{40}-M_{45}}{D_{40}}-\ 0.04}=\frac{M_{45}}{0.96D_{40}-M_{40}+M_{45}}\) … ④
与えられた条件から、\(D_{40}=65,857\ ,\ \ M_{40}=43,497\ ,\ \ M_{45}=43,051\)　・・・　⑤
④⑤より、\(P_1=\frac{43,051}{0.96\times65,857-43,497+43,051}\ \fallingdotseq\ 0.685780\)　・・・　⑥

次に、保険種類２を考える。
与えられた条件から、付加保険料が営業保険料の4%であるので、収支相等の原則から、
\(P_2=\sum_{t=1}^{5}\frac{C_{40+t-1}\times{_t-1}V}{D_{40}}+{{_{\ 5\ |}}A}_{40}+\ 0.04\times\ P_2\)　・・・　⑦
保険種類２の純保険料が\(0.96\times\ P_2\)となることに注意して、責任準備金の再帰式から、
\({_0}V+0.96\times\ P_2=vq_x\times{_1}V+vp_x\times{_1}V=v\times\left(q_x+p_x\right)\times{_1}V=v\times{_1}V\)　・・・　⑧
\({_t-1}V=vq_{x+t-1}\times{_t}V+vp_{x+t-1}\times{_t}V=v\times{_t}V\hspace{1em}\left(2\le t\le5\right)\)　・・・　⑨
与えられた条件から、\({_0}V=0\ ,\ {_5}V=A_{45}\)　・・・　⑩
⑨の両辺に\(v^{t-1}\)を乗じると、\(v^{t-1}\times{_t-1}V=v^t\times{_t}V\hspace{1em}\left(2\le t\le5\right)\)となるので、これを\(2\le\ t\le5\)について辺々加えると、\(v\times{_1}V=v^5\times{_5}V\)　・・・　⑪
⑧⑩⑪より、0.96\(\times\ P_2=v^5\times{_5}V=v^5\times\ A_{45}\)となるので、\(P_2=\frac{v^5\times A_{45}}{0.96}\)　・・・　⑫
教科書（上巻）121ページ（4.6.8）より、\(A_x=\frac{M_x}{D_x}\)　・・・　⑬
与えられた条件から、予定利率\(i=0.01、D_{45}=62,222\)　・・・　⑭
⑤⑬⑭を⑫に代入すれば、\(P_2=\frac{\left(\frac{1}{1+i}\right)^5\times\frac{M_{45}}{D_{45}}}{0.96}=\frac{\left(\frac{1}{1+0.01}\right)^5\times\frac{43,051}{62,222}}{0.96}\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{0.685}743}\) … ⑮
⑥⑮より、\(P_1-P_2\ \fallingdotseq\ 0.685780-0.685743=0.000037\)

（答）（E）

問題２（６）
この保険の年払純保険料をPとすれば、責任準備金の再帰式より、
\({_t-1}V+P=vq_{x+t-1}\times\ t\times\ P+vp_{x+t-1}\times{_t}V\hspace{1em}\left(1\le t\le5\right)\)　・・・　①
\({_t-1}V+P=vq_{x+t-1}\times{_t}V+vp_{x+t-1}\times{_t}V=v\times\left(q_{x+t-1}+p_{x+t-1}\right)\times{_t}V=v{_t}V\hspace{1em}\left(6\le t\le10\right)\)　・・・　②
与えられた条件から、\({_0}V=0\ ,\ {_10}V=1\)　・・・　③
②の両辺に\(v^{t-1}\)を乗じると、\(v^{t-1}\times{_t-1}V+v^{t-1}\times\ P=v^t\times{_t}V\hspace{1em}\left(6\le t\le10\right)\)となるので、これを\(6\le\ t\le10\)について辺々加えると、\(v^5\times{_5}V+P\times\sum_{t=5}^{9}v^t=v^{10}\times{_10}V\)　・・・　④
③④より、\(P=\frac{v^{10}-v^5\times{_5}V}{\sum_{t=5}^{9}v^t}=\frac{v^5-{_5}V}{\sum_{t=0}^{4}v^t}=\frac{v^5-{_5}V}{{\ddot{a}}_{\overline{5|}}}\)　・・・　⑤
一方、①の両辺に\(v^{t-1}{{_t-1}p}_x\)を乗じると、
\(v^{t-1}{{_t-1}p}_x{_t-1}V+v^{t-1}{{_t-1}p}_xP=v^t{{_t-1}p}_xq_{x+t-1}tP+v^t{{_t}p}_x{_t}V\hspace{1em}\left(1\le t\le5\right)\)となるので、これを\(1\le\ t\le5\)について辺々加えると、\({_0}V+P\sum_{t=1}^{5}{v^{t-1}{{_t-1}p}_x}=P\sum_{t=1}^{5}{tv^t{{_t-1}p}_xq_{x+t-1}}+v^5{{_5}p}_x{_5}V\)となるので、整理すると、\({_0}V+P{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}=P\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1+v^5{{_5}p}_x{_5}V\)　・・・　⑥
③⑥より、\({_5}V=\frac{P\times\left\{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1\right\}}{v^5{{_5}p}_x}\)　・・・　⑦
⑦を⑤に代入すると、\(P=\frac{v^5-\frac{P\times\left\{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1\right\}}{v^5{{_5}p}_x}}{{\ddot{a}}_{\overline{5|}}}\)となり、整理すると、
\(P=\frac{v^{10}{{_5}p}_x}{v^5{{_5}p}_x{\ddot{a}}_{\overline{5|}}+{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1}\)　・・・　⑧
また、①より、\({_t-1}V+P=vq_{x+t-1}\times\ t\times\ P+vp_{x+t-1}\times{_t}V\hspace{1em}\left(1\le t\le3\right)\)となるので、これを\(1\le\ t\le3\)について辺々加えると、⑦より、\(3\ \ V=\frac{P\times\left\{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}^1\right\}}{v^3{{_3}p}_x}\)　・・・　⑨
教科書（下巻）15ページ（8.1.5）より、\({{_t\ }V}_{x\ \ :\overline{\ n\ |}}^{\left[hz\right]}={{_t\ }V}_{x\ \ :\overline{\ n\ |}}-\frac{\alpha}{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ h\ |}}}\times{\ddot{a}}_{x+t\ \ :\overline{\ h-t\ |}}\)となるので、与えられた条件から、\(h=5\ ,\ \ t=3\ ,\ \alpha=0.3\)に注意すれば、\({{_3\ }V}^{\left[5z\right]}={{_3\ }V}_-\frac{0.3}{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}}\times{\ddot{a}}_{x+3\ \ :\overline{\ 2\ |}}\) … ⑩
⑧⑨を⑩に代入すれば、\({{_3\ }V}^{\left[5z\right]}=\frac{P\times\left\{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}^1\right\}}{v^3{{_3}p}_x}-\frac{0.3}{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}}\times{\ddot{a}}_{x+3\ \ :\overline{\ 2\ |}}\)　・・・　⑪
以下、⑪の右辺の各項の値を地道に求める。
⑧より、\(\frac{P}{v^3{{_3}p}_x}=\frac{\frac{v^{10}{{_5}p}_x}{v^5{{_5}p}_x{\ddot{a}}_{\overline{5|}}+{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1}}{v^3{{_3}p}_x}=\frac{\frac{v^{10}{{_5}p}_x}{v^3{{_3}p}_x}}{v^5{{_5}p}_x{\ddot{a}}_{\overline{5|}}+{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1}\)
\(=\frac{v^7{{_2}p}_{x+3}}{v^5{{_5}p}_x{\ddot{a}}_{\overline{5|}}+{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1}\)　・・・　⑫
与えられた条件から、\(p_x=p_{x+1}=\cdots=p_{x+9}=\frac{1}{1.02}\ ,\ \ i=1.00\%\)　・・・　⑬
⑬より、\(v^7{{_2}p}_{x+3}=\left(\frac{1}{1+i}\right)^7\times\ p_{x+3}\times\ p_{x+4}=\left(\frac{1}{1.01}\right)^7\times\left(\frac{1}{1.02}\right)^2\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{0.896}499}\)　・・・　⑭
⑬より、\(v^5{{_5}p}_x{\ddot{a}}_{\overline{5|}}=v^5\times\ p_x\times\ p_{x+1}\times\ p_{x+2}\times\ p_{x+3}\times\ p_{x+4}\times\frac{1-v^5}{1-v}\)
\(=\left(\frac{1}{1+i}\right)^5\times\ p_x\times\ p_{x+1}\times\ p_{x+2}\times\ p_{x+3}\times\ p_{x+4}\times\frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^5}{1-\frac{1}{1+i}}=\left(\frac{1}{1.01}\right)^5\times\left(\frac{1}{1.02}\right)^5\times\frac{1-\left(\frac{1}{1.01}\right)^5}{1-\frac{1}{1.01}}\)
\(\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{4.224}376}\)　・・・　⑮
⑬より、\({\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}=1+vp_x+v^2{{_2}p}_x+v^3{{_3}p}_x+v^4{{_4}p}_x\)
\(=1+\left(\frac{1}{1+i}\right)p_x+\left(\frac{1}{1+i}\right)^2p_xp_{x+1}+\left(\frac{1}{1+i}\right)^3p_xp_{x+1}p_{x+2}+\left(\frac{1}{1+i}\right)^4p_xp_{x+1}p_{x+2}p_{x+3}=1+\left(\frac{1}{1.01}\right)\left(\frac{1}{1.02}\right)+\left(\frac{1}{1.01}\right)^2\left(\frac{1}{1.02}\right)^2+\left(\frac{1}{1.01}\right)^3\left(\frac{1}{1.02}\right)^3+\left(\frac{1}{1.01}\right)^4\left(\frac{1}{1.02}\right)^4\)
\(=\frac{1-\left(\frac{1}{1.01}\times\frac{1}{1.02}\right)^5}{1-\frac{1}{1.01}\times\frac{1}{1.02}}\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{4.715}321}\)　・・・　⑯
⑬より、\(\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1=vq_x+2v^2p_xq_{x+1}+3v^3{{_2}p}_xq_{x+2}+4v^4{{_3}p}_xq_{x+3}+5v^5{{_4}p}_xq_{x+4}\)
\(=vq_x+2v^2p_xq_{x+1}+3v^3p_xp_{x+1}q_{x+2}+4v^4p_xp_{x+1}p_{x+2}q_{x+3}+5v^5p_xp_{x+1}p_{x+2}p_{x+3}q_{x+4}=\left(\frac{1}{1+i}\right)\left(1-p_x\right)+2\left(\frac{1}{1+i}\right)^2p_x\left(1-p_{x+1}\right)+3\left(\frac{1}{1+i}\right)^3p_xp_{x+1}\left(1-p_{x+2}\right)\ \ \ \ +4\left(\frac{1}{1+i}\right)^4p_xp_{x+1}p_{x+2}\left(1-p_{x+3}\right)+5\left(\frac{1}{1+i}\right)^5p_xp_{x+1}p_{x+2}p_{x+3}\left(1-p_{x+4}\right)=\left(\frac{1}{1+i}\right)\left(1-p_x\right)\times\left\{1+2\left(\frac{1}{1+i}\right)p_x+3\left(\frac{1}{1+i}\right)^2p_xp_{x+1}+4\left(\frac{1}{1+i}\right)^3p_xp_{x+1}p_{x+2}+5\left(\frac{1}{1+i}\right)^4p_xp_{x+1}p_{x+2}p_{x+3}\right\}=\frac{1-\frac{1}{1.02}}{1.01}\times\left\{1+2\left(\frac{1}{1.01}\right)\left(\frac{1}{1.02}\right)+3\left(\frac{1}{1.01}\right)^2\left(\frac{1}{1.02}\right)^2+4\left(\frac{1}{1.01}\right)^3\left(\frac{1}{1.02}\right)^3+5\left(\frac{1}{1.01}\right)^4\left(\frac{1}{1.02}\right)^4\right\}\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{0.269}180}\)　・・・　⑰

⑭⑮⑯⑰を⑫に代入すれば、
\(\frac{P}{v^3{{_3}p}_x}=\frac{v^7{{_2}p}_{x+3}}{v^5{{_5}p}_x{\ddot{a}}_{\overline{5|}}+{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}^1}=\frac{\mathrm{0.896499}\ }{\mathrm{4.224376}+\mathrm{4.715321}-\mathrm{0.269180}}\fallingdotseq\ 0.103396\)… ⑱
⑬より、\({\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}=1+vp_x+v^2{{_2}p}_x=1+\left(\frac{1}{1+i}\right)p_x+\left(\frac{1}{1+i}\right)^2p_xp_{x+1}\)
\(=1+\left(\frac{1}{1.01}\right)\left(\frac{1}{1.02}\right)+\left(\frac{1}{1.01}\right)^2\left(\frac{1}{1.02}\right)^2\fallingdotseq\ 2.912915\)　・・・　⑲
⑬より、\(\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}^1=vq_x+2v^2p_xq_{x+1}+3v^3{{_2}p}_xq_{x+2}\)
\(=vq_x+2v^2p_xq_{x+1}+3v^3p_xp_{x+1}q_{x+2}=\left(\frac{1}{1+i}\right)\left(1-p_x\right)+2\left(\frac{1}{1+i}\right)^2p_x\left(1-p_{x+1}\right)+3\left(\frac{1}{1+i}\right)^3p_xp_{x+1}\left(1-p_{x+2}\right)=\left(\frac{1}{1+i}\right)\left(1-p_x\right)\times\left\{1+2\left(\frac{1}{1+i}\right)p_x+3\left(\frac{1}{1+i}\right)^2p_xp_{x+1}\right\}=\frac{1-\frac{1}{1.02}}{1.01}\times\left\{1+2\left(\frac{1}{1.01}\right)\left(\frac{1}{1.02}\right)+3\left(\frac{1}{1.01}\right)^2\left(\frac{1}{1.02}\right)^2\right\}\)
\(\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{0.111}979}\)　・・・　⑳
⑬より、\({\ddot{a}}_{x+3\ \ :\overline{\ 2\ |}}=1+vp_{x+3}=1+\left(\frac{1}{1+i}\right)p_{x+3}=1+\left(\frac{1}{1.01}\right)\left(\frac{1}{1.02}\right)\fallingdotseq\ 1.970685\)　・・・　㉑
⑯⑱⑲⑳㉑を⑪に代入すれば、
\({{_3\ }V}^{\left[5z\right]}=\frac{P}{v^3{{_3}p}_x}\times\left\{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}-\left(IA\right)_{x\ \ :\overline{\ 3\ |}}^1\right\}-\frac{0.3}{{\ddot{a}}_{x\ \ :\overline{\ 5\ |}}}\times{\ddot{a}}_{x+3\ \ :\overline{\ 2\ |}}\)
\(\fallingdotseq\ 0.103396\times\left(2.912915-\mathrm{0.111979}\right)-\frac{0.3}{\mathrm{4.715321}}\times1.970685\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{0.164}226}\)

（答）（D）

問題２（７）
求める契約貸付の金額をL（円）とすれば、与えられた条件から以下の等式が成立する。
『L（円）の5年後の元利合計』＋『5回分の年払営業保険料の5年後の元利合計』
＝『5年後の満期保険金額の減少額』　・・・　①
与えられた条件から、
保険料振替貸付および契約貸付にかかる貸付利率 ＝ 2.00％　・・・　②
年払営業保険料 ＝ 0.0312　・・・　③
5年後の満期保険金額の減少額 ＝ 1－0.8 ＝ 0.2　・・・　④
①②③④より、\(L\times1.02^5+0.0312\times{\ddot{s}}_{\overline{5|}}^{\left(2.00\%\right)}=0.8\)となるので、変形すれば、
\(L\ =\ \frac{0.8-0.0312\times{\ddot{s}}_{\overline{5|}}^{\left(2.00\%\right)}}{1.02^5}\)　・・・　⑤
教科書（上巻）13ページ（1.5.1）より、\({\ddot{s}}_{\overline{n|}}=\frac{\left(1+i\right)^n-1}{d}\)　・・・　⑥
②⑥より、\({\ddot{s}}_{\overline{5|}}^{\left(2.00\%\right)}=\frac{\left(1+i\right)^5-1}{d}=\frac{\left(1+i\right)^5-1}{iv}=\frac{\left(1+0.02\right)^5-1}{\frac{0.02}{1+0.02}}\fallingdotseq\ 5.308121\)　・・・　⑦
⑦を⑤に代入すると、
\(L\ =\ \frac{0.8-0.0312\times5.308121}{1.02^5}\fallingdotseq\ 0.574584\)

（答）（D）

問題２（８）
まず、問題文から、t=1で考えれば良い。
次に、４人の年齢がすべて異なる場合で考えて、それぞれの年齢をx、y、zおよびwとすれば、4人中2人を選ぶ組合せは6通りあることに注意して、教科書（下巻）90ページ（12.2.11）より、\(p_{\overline{xyzw}}^{\ \left[2\right]}=\ p_{xy}^\ q_{\overline{zw}}+p_{xz}^\ q_{\overline{yw}}+p_{xw}^\ q_{\overline{yz}}+p_{yz}^\ q_{\overline{xw}}+p_{yw}^\ q_{\overline{xz}}+p_{zw}^\ q_{\overline{xy}}\)　・・・　①（←右辺が６項）
教科書（下巻）84ページ（12.1.8）より、
\(q_{\overline{xy}}=\left(1-p_x\right)\left(1-p_y\right)=1-p_x-p_y+p_xp_y\)　・・・　②
②を①に代入すれば、
\(p_{\overline{xyzw}}^{\ \left[2\right]}=\ p_{xy}^\ \left(1-p_z-p_w+p_zp_w\right)+p_{xz}^\ \left(1-p_y-p_w+p_yp_w\right)+p_{xw}^\ \left(1-p_y-p_z+p_yp_z\right)\hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}+p_{yz}^\ \left(1-p_x-p_w+p_xp_w\right)+p_{yw}^\ \left(1-p_x-p_z+p_xp_z\right)+p_{zw}^\ \left(1-p_x-p_y+p_xp_y\right)\)
\(=\ \ p_{xy}^\ -p_{xyz}-p_{xyw}+p_{xyzw}+p_{xz}^\ -p_{xyz}-p_{xzw}+p_{xyzw}+p_{xw}^\ -p_{xyw}^\ -p_{xzw}+p_{xyzw}\hspace{1em}\hspace{1em}+p_{yz}^\ -p_{xyz}^\ -p_{yzw}^\ +p_{xyzw}+p_{yw}^\ -p_{xyw}^\ -p_{yzw}^\ +p_{xyzw}+p_{zw}^\ -p_{xzw}^\ -p_{yzw}^\ +p_{xyzw}\)
\(=\ \ p_{xy}^\ +p_{xz}^\ +p_{xw}^\ +p_{yz}^\ +p_{yw}^\ +p_{zw}^\ +6p_{xyzw}-3p_{xyz}-3p_{xyw}-3p_{xzw}-3p_{yzw}\)　・・・　③
ここで、問題文に合わせるために、x＝z、ｙ＝wとすれば、③より、
\(p_{\overline{xxyy}}^{\ \left[2\right]}=\ p_{xy}^\ +p_{xx}^\ +p_{xy}^\ +p_{xy}^\ +p_{yy}^\ +p_{xy}^\ +6p_{xxyy}-3p_{xxy}-3p_{xyy}-3p_{xxy}-3p_{xyy}\)
\(=\ 4p_{xy}^\ +p_{xx}^\ +p_{yy}^\ +6p_{xxyy}-6p_{xxy}-6p_{xyy}=\ \left(p_{xx}^\ +p_{yy}^\ \right)\mathrm{\mathrm{+4}}p_{xy}^\ -6\left(p_{xxy}+p_{xyy}\right)+6p_{xxyy}\)
となるので、\(\fbox{　①　}\)～\(\fbox{　④　}\)はそれぞれ、１、４、－６、６となる。

（答）\(\fbox{　①　}\)＝（A）、\(\fbox{　②　}\)＝（D）、\(\fbox{　③　}\)＝（J）、\(\fbox{　④　}\)＝（E）

問題３（１）
（a）\(\fbox{　①　}\)、\(\fbox{　②　}\)について、
与えられた条件から、Aは年金の給付現価なので、\(A=\sum_{t=1}^{\infty}{v^t{{_t}p}_x^{ai}}\)　・・・　①
教科書（下巻）158ページ（13.1.19）より、\({{_t}p}_x^{ai}=\frac{l_{x+t}^{ii}-l_x^{ii}{{_t}p}_x^i}{l_x^{aa}}\)　・・・　②
②を①に代入すれば、\(A=\sum_{t=1}^{\infty}{v^t\frac{l_{x+t}^{ii}-l_x^{ii}{{_t}p}_x^i}{l_x^{aa}}}=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{v^t}{l_x^{aa}}\left(l_{x+t}^{ii}-l_x^{ii}{{_t}p}_x^i\right)}\)となるので、
\(\fbox{　①　}\)＝\(l_{x+t}^{ii}\)＝（イ）、\(\fbox{　②　}\)＝\({{_t}p}_x^i\)＝（ケ）
次に、\(\fbox{　③　}\)、\(\fbox{　④　}\)、\(\fbox{　⑤　}\)について、上記の結果から、
\(A=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{v^{x+t}}{v^xl_x^{aa}}\left(l_{x+t}^{ii}-l_x^{ii}{{_t}p}_x^i\right)}=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(v^{x+t}l_{x+t}^{ii}-v^{x+t}l_x^{ii}{{_t}p}_x^i\right)}=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(D_{x+t}^{ii}-v^xl_x^{ii}\times v^t{{_t}p}_x^i\right)}\)
\(=\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(D_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{D_{x+t}^i}{D_x^i}\right)}\)となる（注:iが一つの場合は単生命表と同じように扱える）ので、
\(\fbox{　③　}\)＝\(D_{x+t}^{ii}\)＝（タ）、\(\fbox{　④　}\)\(＝D_{x+t}^i\)＝（ツ）、\(\fbox{　⑤　}\)＝\(D_x^i\)＝（テ）
次に、\(\fbox{　⑥　}\)、\(\fbox{　⑦　}\)、\(\fbox{　⑧　}\)、\(\fbox{　⑨　}\)、\(\fbox{　⑩　}\)について、与えられた条件から、健常者および要介護者とも死亡時に３の死亡保険金額が支払われ、かつ、加入時点で要介護者の者は、そもそも、この保険に加入できないことに注意すれば、
\(B=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{v^{t+1}}{l_x^{aa}}\left(d_{x+t}^{aa}+d_{x+t}^{ii}-l_x^{ii}{{_{\ \ t\ |}}q}_x^i\right)}\)
\(=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{v^{x+t+1}}{v^xl_x^{aa}}\left(d_{x+t}^{aa}+d_{x+t}^{ii}-l_x^{ii}{{_{\ \ t\ |}}q}_x^i\right)}\)
\(=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(v^{x+t+1}d_{x+t}^{aa}+v^{x+t+1}d_{x+t}^{ii}-v^{x+t+1}l_x^{ii}{{_{\ \ t\ |}}q}_x^i\right)}\)
\(=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(C_{x+t}^{aa}+C_{x+t}^{ii}-v^xl_x^{ii}\times v^{t+1}{{_{\ \ t\ |}}q}_x^i\right)}\)
\(=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(C_{x+t}^{aa}+C_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times v^{t+1}\times\frac{d_{x+t}^i}{l_x^i}\right)}\)
\(=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(C_{x+t}^{aa}+C_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{v^{x+t+1}\times d_{x+t}^i}{v^x\times l_x^i}\right)}\)
\(=3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(C_{x+t}^{aa}+C_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{C_{x+t}^i}{D_x^i}\right)}\)となるので、
\(\fbox{　⑥　}\)＝\(d_{x+t}^{ii}\)＝（オ）、\(\fbox{　⑦　}\)＝\({{_{\ \ t\ |}}q}_x^i\)＝（シ）、\(\fbox{　⑧　}\)＝\(C_{x+t}^{ii}\)＝（ニ）、\(\fbox{　⑨　}\)＝\(C_{x+t}^i\)＝（ネ）、
\(\fbox{　⑩　}\)＝\(D_x^i\)＝（テ）
（b）について、収支相等の原則から、\(P\times{\ddot{a}}_x^{aa}=A+B\)　・・・　③
教科書（下巻）163ページ（13.2.1）より、\({\ddot{a}}_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^{aa}=\frac{N_x^{aa}-N_{x+n}^{aa}}{D_x^{aa}}\)　・・・　④
④で\(n\rightarrow\infty\)とすれば、\({\ddot{a}}_x^{aa}=\frac{N_x^{aa}}{D_x^{aa}}\)　・・・　⑤
（a）の結果と⑤を③に代入すれば、
\(P=\frac{A+B}{{\ddot{a}}_x^{aa}}=\frac{\sum_{t=1}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(D_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{D_{x+t}^i}{D_x^i}\right)}+3\sum_{t=0}^{\infty}{\frac{1}{D_x^{aa}}\left(C_{x+t}^{aa}+C_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{C_{x+t}^i}{D_x^i}\right)}}{\frac{N_x^{aa}}{D_x^{aa}}}\)
\(=\frac{\sum_{t=1}^{\infty}\left(D_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{D_{x+t}^i}{D_x^i}\right)+3\sum_{t=0}^{\infty}\left(C_{x+t}^{aa}+C_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\times\frac{C_{x+t}^i}{D_x^i}\right)}{N_x^{aa}}=\frac{\sum_{t=1}^{\infty}D_{x+t}^{ii}-\frac{D_x^{ii}}{D_x^i}\sum_{t=1}^{\infty}D_{x+t}^i+3\sum_{t=0}^{\infty}C_{x+t}^{aa}+3\sum_{t=0}^{\infty}C_{x+t}^{ii}-3\frac{D_x^{ii}}{D_x^i}\sum_{t=0}^{\infty}C_{x+t}^i}{N_x^{aa}}=\frac{\left(\sum_{t=0}^{\infty}D_{x+t}^{ii}-D_x^{ii}\right)-\frac{D_x^{ii}}{D_x^i}\times\left(\sum_{t=0}^{\infty}D_{x+t}^i-D_x^i\right)+3M_x^{aa}+3M_x^{ii}-3\frac{D_x^{ii}}{D_x^i}M_x^i}{N_x^{aa}}\)
\(=\frac{\left(N_x^{ii}-D_x^{ii}\right)-\frac{D_x^{ii}}{D_x^i}\times\left(N_x^i-D_x^i\right)+3M_x^{aa}+3M_x^{ii}-3\frac{D_x^{ii}}{D_x^i}M_x^i}{N_x^{aa}}\)　・・・　⑥
与えられた表の数値を⑥に代入すれば、
\(P=\frac{\left(225,984-1,704\right)-\frac{1,704}{29,585}\times\left(418,142-29,585\right)+3\times16,852+3\times22,771-3\times\frac{1,704}{29,585}\times25,445}{631,537}\)
\(\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{0.500}957}\)となるので、（b）＝（F）

（答）（a）\(\fbox{　①　}\)＝（イ）、\(\fbox{　②　}\)＝（ケ）、\(\fbox{　③　}\)＝（タ）、\(\fbox{　④　}\)＝（ツ）、\(\fbox{　⑤　}\)＝（テ）、
\(\fbox{　⑥　}\)＝（オ）、\(\fbox{　⑦　}\)＝（シ）、\(\fbox{　⑧　}\)＝（ニ）、\(\fbox{　⑨　}\)＝（ネ）、\(\fbox{　⑩　}\)＝（テ）、（b）（F）

問題３（２）
（a）\(\fbox{　①　}\)、\(\fbox{　②　}\)、\(\fbox{　③　}\)について、与えられた条件から、\(\fbox{　①　}\)が死亡、\(\fbox{　②　}\)が解約を、そして、\(\fbox{　③　}\)が残存（＝死亡せず、かつ、解約せず）を表す。また、与えられた条件から、死亡脱退は絶対死亡率（\(q_{x+t}\)）に従い保険年度末に発生し、「死亡→解約」の順序で発生するので、
\({{_t}V}_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1+P_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1=vq_{x+t}\times1+v\left(1-q_{x+t}\right)q_{x+t}^W\times{_t+1}W+v\left(1-q_{x+t}\right)\left(1-q_{x+t}^W\right){{_t+1}V}_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1\)となる。
よって、\(\fbox{　①　}\)＝\(q_{x+t}\)＝（エ）、\(\fbox{　②　}\)＝\(\left(1-q_{x+t}\right)q_{x+t}^W\)＝（ケ）、\(\fbox{　③　}\)＝\(\left(1-q_{x+t}\right)\left(1-q_{x+t}^W\right)\)＝（コ）
\(\fbox{　④　}\)、\(\fbox{　⑤　}\)について、解約脱退を仮定しない場合、通常の単生命表となるので、
\({{_t}V}_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1+P_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1=vq_{x+t}\times1+v\left(1-q_{x+t}\right){{_t+1}V}_{x\ \ :\ \overline{\ n\ |}}^1\)となる。
よって、\(\fbox{　④　}\)＝\(q_{x+t}\)＝（エ）、\(\fbox{　⑤　}\)＝\(\left(1-q_{x+t}\right)\)＝（カ）
\(\fbox{　⑥　}\)について、上記の結果から、\(\fbox{　⑥　}\)＝\(t\ \ V\)＝（ツ）

（b）について、
\(\fbox{　⑦　}\)、\(\fbox{　⑧　}\)について、与えられた条件から、
\({_t}V+P=v^\frac{1}{2}\bullet q_x^{sh}\bullet T_x^{sh}+v\bullet q_{x+t}\bullet{_t+1}V+v\bullet\left(1-q_{x+t}\right)\bullet{_t+1}V\)となる。
よって、\(\fbox{　⑦　}\)＝\(q_x^{sh}\bullet T_x^{sh}\)＝（セ）、\(\fbox{　⑧　}\)＝\(\left(1-q_{x+t}\right)\)＝（カ）
\(\fbox{　⑨　}\)について、上記の結果から、\({_t}V+P=v^\frac{1}{2}\bullet q_x^{sh}\bullet T_x^{sh}+v\bullet{_t+1}V\)となる。
よって、\(\fbox{　⑨　}\)＝1＝（ア）

（c）について、与えられた条件から、
\(x=30\ ,\ \ i=2.00\%\ ,\ \ q_{x+t}^{sh}=0.001\bullet\left(x+t-29\right)\ ,\ T_{x+t}^{sh}=10\ ,\ n=10\)　・・・　①
上記の結果から、\({_t}V+P=v^\frac{1}{2}\bullet q_x^{sh}\bullet T_x^{sh}+v\bullet{_t+1}V\)　・・・　②
②の両辺に\(v^t\)を乗じると、\(v^t\bullet{_t}V+v^t\bullet P=v^{t+\frac{1}{2}}\bullet q_x^{sh}\bullet T_x^{sh}+v^{t+1}\bullet{_t+1}V\)となるので、これを\(0\le\ t\le9\)について辺々加えると、\(v^0\times{_0}V+P\times\sum_{t=0}^{9}v^t=\sum_{t=0}^{9}{v^{t+\frac{1}{2}}\bullet q_{x+t}^{sh}\bullet T_{x+t}^{sh}}+v^{10}\bullet{_10}V\)　…　③
与えられた条件から、\({_0}V={_10}V=0\)　・・・　④
①③④より、
\(P=\frac{\sum_{t=0}^{9}{v^{t+\frac{1}{2}}\bullet q_{30+t}^{sh}\bullet T_{30+t}^{sh}}}{\sum_{t=0}^{9}v^t}=\frac{\sum_{t=0}^{9}{v^{t+\frac{1}{2}}\bullet0.001\bullet\left(30+t-29\right)\bullet\mathrm{10} }}{\frac{1-v^{10}}{1-v}}=\frac{\sum_{t=0}^{9}{v^{t+\frac{1}{2}}\bullet0.01\bullet\left(1+t\right)}}{\frac{1-v^{10}}{1-v}}=\frac{0.01\bullet\sum_{t=0}^{9}{v^{t+\frac{1}{2}}\bullet\left(1+t\right)}}{\frac{1-v^{10}}{1-v}}=\frac{0.01\bullet\sum_{t=0}^{9}{\left(\frac{1}{1+i}\right)^{t+\frac{1}{2}}\bullet\left(1+t\right)}}{\frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)}}=\frac{0.01\bullet\left(\frac{1}{1+i}\right)^\frac{1}{2}\bullet\sum_{t=0}^{9}{\left(\frac{1}{1+i}\right)^t\bullet\left(1+t\right)}}{\frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)}}\)　・・・　⑤
ここで、\(S=\sum_{t=0}^{9}{\left(\frac{1}{1.02}\right)^t\bullet\left(1+t\right)}\)とすれば、
\(S=\sum_{t=0}^{9}{\left(\frac{1}{1.02}\right)^t\bullet\left(1+t\right)}=1+2\left(\frac{1}{1.02}\right)+3\left(\frac{1}{1.02}\right)^2+4\left(\frac{1}{1.02}\right)^3+\cdots+10\left(\frac{1}{1.02}\right)^9\)　・・・　⑥
⑥より、\(\frac{1}{1.02}S=\left(\frac{1}{1.02}\right)+2\left(\frac{1}{1.02}\right)^2+3\left(\frac{1}{1.02}\right)^3+4\left(\frac{1}{1.02}\right)^4+\cdots+10\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}\)　・・・　⑦
⑥⑦を辺々引くと、
\(S-\frac{1}{1.02}S=1+\left(\frac{1}{1.02}\right)+\left(\frac{1}{1.02}\right)^2+\left(\frac{1}{1.02}\right)^3+\cdots+\left(\frac{1}{1.02}\right)^9-10\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}\)となるので、
\(S=\frac{1+\left(\frac{1}{1.02}\right)+\left(\frac{1}{1.02}\right)^2+\left(\frac{1}{1.02}\right)^3+\cdots+\left(\frac{1}{1.02}\right)^9-10\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}}{1-\frac{1}{1.02}}=\frac{\frac{1-\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}}{1-\frac{1}{1.02}}-10\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}}{1-\frac{1}{1.02}}=\frac{1-\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}-10\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}\times\left(1-\frac{1}{1.02}\right)}{\left(1-\frac{1}{1.02}\right)^2}\)
\(\fallingdotseq\ \mathrm{\mathrm{48.89}6439}\)　・・・　⑧

⑧を⑤に代入すれば、
\(P=\frac{0.01\bullet\left(\frac{1}{1+i}\right)^\frac{1}{2}\bullet\mathrm{48.896439} }{\frac{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{1+i}\right)}}\fallingdotseq\frac{0.01\bullet\left(\frac{1}{1.02}\right)^\frac{1}{2}\bullet\mathrm{48.896439} }{\frac{1-\left(\frac{1}{1.02}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{1.02}\right)}}\fallingdotseq\ \mathrm{0.052842}\)
よって、（c）は（C）となる。

（答）（a）\(\fbox{　①　}\)＝（エ）、\(\fbox{　②　}\)＝（ケ）、\(\fbox{　③　}\)＝（コ）、\(\fbox{　④　}\)＝（エ）、\(\fbox{　⑤　}\)＝（カ）、
\(\fbox{　⑥　}\)＝（ツ）、（b）\(\fbox{　⑦　}\)＝（セ）、\(\fbox{　⑧　}\)＝（カ）、\(\fbox{　⑨　}\)＝（ア）、（c）（C）